Podemos encontrar entre dos números consecutivos infinitos números:
Por ejemplo:
8 y 9
Podemos tomar 8,5 que está entre 8y 9
8 .... 8,5..... 9
8....8,001....9
Siempre nos podremos acercar al número "8" , sin llegar a él.
"8" es el límite que no podemos tocar.
Si nos acercamos desde valores mayores a 8, se dice que nos " acercamos por la derecha ".
Si nos acercamos desde valores menores a 8, se dice que nos " acercamos por la izquierda ".
El concepto de límite está ligado al concepto de función.
Función lineal
y = x + 8
y = 2x + 3
| x | 0,5 | 0,05 | 0,001 | - 0,5 | - 0,01 | - 0,002 |
| y= 2x + 3 | 4 |
3,1 |
3,002 | 2 |
2,98 |
2,996 |
Si se observa la tabla de valores correspondientes a la función y = 2x +3, cada vez que los valores de x se acercan más a 0, ya sea por la derecha o por la izquierda, es decir, ya sea para valores positivos o para valores negativos, los valores correspondientes de y se acercan más a 3, o lo que es lo mismo difieren de 3 tan poco como se quiera.
Lenguaje simbólico de límite
lim x + 8 = 8 lim 2x + 3 = 3
x→ 0 x→ 0
lim función analizada lim función analizada
8+ x = 8→ límite 2x + 3 = 3 → límite
x→ 0 x→ 0
x tiende a 0 x tiende a 0
El valor de x se acerca a "cero" y el valor de " y " (la imagen de la función) tiende a 8
El valor de x se acerca a "cero" y el valor de " y " (la imagen de la función) tiende a 3
Teorema acerca de los límites
Si lim [f(x) + g(x)] = C y lim g(x) = B
x→ a x→ a
Límite de una suma es la suma de los límites.
lim [f(x) + g(x)] = C + B
x→ a
Límite de una diferencia es la diferencia de los límites
lim [f(x) - g(x)] = C - B
x→ a
Límite de un producto es el producto de los límites
lim [f(x) . g(x)] = C . B
x→ a
Límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea 0
lim f(x) = C si B ≠ 0
x→ a g(x) B
Ejemplos:
A)
lim ( x2 + 4x - 1)
x → 2
Límite de la suma y la diferencia
lim ( x2 + 4x - 1) = lim x2 + lim 4x - lím 1
x → 2 x → 2 x → 2 x → 2
Límite del producto
lim x . lim x + lim 4 . lim x - lim 1
x → 2 x → 2 x → 2 x → 2 x → 2
Límite de las funciones constante e identidad
2 . 2 + 4 . 2 - 1
4 + 8 - 1 = 11
vvvvvvvvvv
B)
lim 2x - 3
x→ - 1 x - 1
Límite de cociente
lim 2x - 3 = lim ( 2x - 3)
x→ - 1 x - 1 x→ - 1
lím ( x - 1)
x→ - 1
Límite del producto y de la diferencia
lim 2 . lim x - lim 3
x → -1 x → -1 x → -1
lim x - lim 1
x→ - 1 x→ - 1
Límite de las funciones constantes y de identidad
2 . - 1 - 3 = - 5 = 2,5
- 1 - 1 - 2
El límite de una constante por una función es la constante por el límite
f(x) = k. lím f(x)
x→ a
Ejemplo:
lím 3√ x = 3 lim √x = 3 . √4 = 6
x→ 4 x→ 4
Límite de un polínomio
El límite de un polínomio p(x) cuando x→ a es el valor del polínomio en a
p(x) = c n .xn + c n - 1 . xn - 1 + ....+ c 1 . x + c 0
p(x) = lím ( c n .xn + c n - 1 . xn - 1 + ....+ c 1 . x + c 0 )
x→ a
= lím ( c n .xn) + lím (cn - 1 . xn - 1 ) +..... + lím (c1 . x + c 0 )
x→ a x→ a x→ a
Límite de una constante por una función
c n . an + cn - 1 a n - 1 + ..... + c1 .a + c 0
= p(a)
Ejemplo:
lím ( 2 x5 - 3 x2 - 1) = 2 . 2 5 - 3 . 2 2 - 1 = 51 Límite de una función racional lim p(x) = p(a) lím - 3 x4 + 2x2 + x = - 3 . 1 + 2 . 1 + 1 = 0 = 0 - 3 + 2 + 1 = 0 = 0 La indeterminación " 0/0 " p(x) es una función racional y si q(a) ≠ 0, para calcular lim p(x) es suficiente p(a) ¿Qué sucede cuando el límite del denominador es nulo? q(x) = 0 Primer caso: cuando el numerador y denominador es 0 lím x3 - 1 = 1 - 1 = 0 Indeterminada Factoreo sexto caso x3 - 1 = ( x + 1 ) . ( x2 - x + 1 ) Factoreo: primer caso 2x - 2 = 2. (x - 1) Entonces Se simplica, si es posible y se tiene: ( x2 - x + 1 ) Se reemplaza por el valor encontrado: ( 1 2 - 1 + 1 ) = 1 - 1 + 1 = 1/2 = 0,5 vvvvvvvvvv Extensiones del concepto de límite
lim 1 = 0 A medida que x crece los valores de la función se aproximan cada vez más a 0. Si x→ 0 + los valores de la función f(x) crecen "sin tope". Si x crece " sin tope " , f(x) → 0. f(x) = 1 ↓ f(x) = 1 = ∞ f(x) = 1 = 0 Límite en el infinito. Asíntota horizontal f(x) = 1 + 2 lim ( 1 + 2) = 1 Los valores de f(x) se aproxima tanto cuanto se desee a 1 los valores de x crecen " sin tope ". lim ( 1 + 2) = 1 Los valores de la f(x) se aproximan tanto como se desee a 1 cuando los valores de x decrecen " sin tope". Asíntota horizontal = 1 Límite infinito en un punto Asíntota vertical. f(x) = 1 Los valores de f(x) crecen " sin tope ", cuando x se aproxima a cero. lím = 1 = + ∞ Trabajando con la función opuesta g(x) = - 1 lím = - 1 = - ∞ Los valores de g(x) decrecen sin tope cuando x se aproxima a cero. Asíntota vertical: hay un acercamiento tanto como se quiera a la recta x = 0, cuando x se aproxima a 0, la recta x= 0 es la asíntota vertical vvvvvvvvvv Límites laterales El límite de una función existe si y sólo si dos límites laterales existen y son iguales. No siempre los límites laterales (izquierda (-) y derecha (+)) son iguales. x + 2 si x ≤ 1 x - 1 si x > 1 Para hallar el límite de esta función: a) Separar la parte de la ecuación que se utiliza para valores menores o iguales que "1" ( x + 2) b) Separar la parte de la ecuación que se utiliza con los valores mayores a "1" ( x – 1) Cuando analizamos una función desde la derecha, colocamos el signo + como exponente del número a que tiende x Para calcular el límite, reemplazamos " x " por el número a que tiende: lim x - 1 = 1 - 1 = 0 Cuando analizamos una función desde la izquierda,colocamos el signo - como exponente del número a que tiende x. Para calcular el límite, reemplazamos " x " por el número a que tiende: lim x + 2 = 1 + 2 = 3 0 ≠ 3 Para hallar el límite, los laterales de izquierda y derecha deben ser iguales : Si los límites laterales dan lo mismo, el límite de la función es ese valor. f(x)= x2 - 1 si x ≤ 2 5x - 7 si x > 2 lim (x2 - 1) = 2 2 - 1 = 3 lim (5x - 7) = 5.2 - 7 = 3 entonces lim f(x) = 3 Los límites laterales son: 3 = 3 Si los límites laterales son iguales entonces: El límite de la función es x = 2 vvvvvvvvvv
x→ 2
x→ a q(x) q(a)
2 x2 + 3 x5
x→ 1
2 . 1 + 3.1 5
2 + 3 5
q(x) x→ a q(x)
q(a)
x→ 1 2 x - 2 2 - 2 0
( x + 1 ) . ( x2 - x + 1 )
2. (x - 1)
2
x→ 1
2 2
x→∞ x
x
100
1.000
10.000
100.000
→ ∞
f(x)
0,01
0,001
0,0001
0,00001
→ 0
Si x → 0 - , los valores de f(x) decrecen" sin tope ".
Si x decrece " sin tope ", f(x) → 0
x
x
x → 0
x
x → ∞
x
x →+ ∞ x
x → - ∞ x
x 2
x → 0 x 2
x 2
x → 0 x 2
x + 2 si x ≤ 1
x - 1 si x > 1
x → 1+
x → 1 -
Esta función no tiene límite en x = 1
x→2 -
x→ 2 +
x→2
Las asíntotas horizontal, vertical y oblicua se encuentran en las funciones racionales.
Cuando el límite
La característica que define a la asíntota vertical es cuando x tiende a un valor que depende de la función: "a" por izquierda y por derecha tiende a infinito
lim f(x) = - ∞
x → a-
lim f(x) = + ∞
x → a +
entonces
lim f(x) = ∞
x → a
La característica que define a la asíntota horizontal es cuando x tiende a infinito por izquierda "– ∞ " y por derecha "+ ∞ " tiende a un valor que depende de la función " b "
lim f(x) = b
x → - ∞
lim f(x) = b
x → + ∞
entonces
lim f(x) = b
x → ∞
Función homograficas = Si a = 0 y b = 0
Límites de funciones logarítmicas
Las gráficas de estas funciones logarítmicas, son continuas en todo su dominio, si c pertenece al dominio de la función, se tiene:
lim [In x] = In c
x→c
lim ex = ec
x→c
En general:
lim [ loga x ] = loga c
x→c
lim ax = ac
x→c
Gráfico de funciones logarítmicas inversas: y = In x ; y = ex
Son inversas:
y= In x |
y = ex |
Ejemplo:
lim In x = In5
x→5
lim ex = e - 1 = 1
x→ - 1 e
lim log2 x = log2 32 = 5
x→32
lim 5x = 52 = 25
x→ 2
Cálculo de límites
1) lim ( x + 3 x ) 2) lim ( x In x2 + 3x )
x→2 x→ - 1
= 2 + 32 = 2 + 9 = 11 = - 1 In ( - 1 )2 + 3 . ( - 1 )
= - 1 In 1 - 3 =
= 0 - 3
= - 3
vvvvvvvvvv
3) lim ( x - 2x ) 4) lim ( 5 x + In ( x + 3 )
x→ 2
( log2 x ) x→ 0
= 2 - 22 50 + In ( 0 + 3 )
log2 2
= 2 - 4 1 + In 3
1
= - 2
vvvvvvvvvv
El número e
f ( x ) = (1 + x ) 1/ x .
Si hacemos que x tienda a cero, por izquierda y por derecha, el valor del límite dará como resultado e .
lim ( 1 + x )1/x = e
x→0 +
lim ( 1 + x )1/x = e
x→0
lim ( 1 + x )1/x = e
x→0 -
lim ( 1 + x )1 / x = e x→ 0 |
x |
y = ( 1 + x )1 / x |
- 0,1 |
2,8679 |
0. 0001 |
2,7184 |
0,1 |
2,5937 |
e = 2,718
El dominio está restringido a valores mayores a – 1.
vvvvvvvvvv
f(x) = ( 1 + 1 / x ) x
lim ( 1 + 1 / x ) x = e
x→ + ∞
lim ( 1 + 1 / x ) x = e
x→∞
lim ( 1 + 1 / x ) x = e
x→ - ∞
| lim ( 1 + 1 / x ) x = e x→∞ |
A medida que x se hace más grande, tiende a infinito positivo ( x →+ ∞ ) la imagen se acerca a 2,718281828 ......... (número irracional) que se lo denomina e .
Si tomamos valores de x cada vez más pequeños, tiende a infinito negativo ( x → - ∞ ) la imagen también "se acerca al mismo valor" e .
El intervalo [ –1, 0 ] no pertenece al dominio de la función
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